【インバーター】単相インバーターのリップル電流の求め方

みなさま、お疲れ様です。

今回は単相インバーターに関する記事です。

今回の記事は単相インバーターのリアクトル電流のお話です。

と悩みをお持ちの方の解決になると思います。

リアクトルリップル電流の計算式とその導出過程、またピーク値の求め方までを解説します。

では、始めます。

【結論】単相インバーターのリップル電流計算式

早速結論ですが、単相インバーターのリップル電流は以下の式で計算できます。

$$\small{
ΔI_L=\frac{V_{DC}T_{SW}}{L}(1-msin(ωt))msin(ωt)
}$$

ΔIL：リアクトルリップル電流[A]、VDC：入力直流電圧[V]、Tsw：スイッチング周期[sec]、m：モジュレーションインデックス(変調率)

更にΔILのピーク値は以下の式で計算できます。

$$\small{
ΔI_{Lpeak}=\frac{V_{DC}T_{SW}}{4L}
}$$

なんでこの式になるの？について、導出過程を以下に示します。

導出過程

まず、パワエレの最重要の式(=リアクトルの式)から始めます。

$$\small{
ΔI_L=\frac{V_L}{L}Δt
}$$

インバーターのスイッチがONしているとき、つまりリアクトルにエネルギー供給時を考えます。

リアクトルにはVDC – Vacの電圧がかかってます。したがって以下の式に変形します。

$$\small{
ΔI_L=\frac{V_{DC}-V_{ac}}{L}Δt
}$$

Δt=Duty*Tswを使って表せるので代入します。

$$\small{
ΔI_L=\frac{V_{DC}-V_{ac}}{L}DT_{sw}
}$$

Duty=Vac/Vdcなので、代入します。

$$\small{
ΔI_L=\frac{V_{DC}-DV_{DC}}{L}DT_{sw}
}$$

さて、Dutyというのはインバーターでは出力電圧が正弦波(=sin)になるように時々刻々と変化しています。このDutyは以下の式で表せます。

$$\small{
D=msin(ωt)
}$$

m：変調率、ω=2πf

それを代入すると以下の式になります。

$$\small{
ΔI_L=\frac{V_{DC}-msin(ωt)V_{DC}}{L}msin(ωt)T_{sw}
}$$

いい感じに括ると最初の式が現れます。

$$\small{
ΔI_L=\frac{V_{DC}T_{SW}}{L}(1-msin(ωt))msin(ωt)
}$$

ΔILの式をグラフにして見る

式をパッと見ただけでは分かりづらいので、グラフにして見ました。

上側半サイクル、下側半サイクルとやってることは同じなので、絶対値で表示しています。

このグラフを見ると、sin(ωt)の実効値付近でΔILのピークを迎えて、sin(ωt)のピーク付近でΔILが小さくなっています。

実際にインバーターのリップル電流を見たことある方はなんとなくイメージと合うのではないでしょうか。

「なんで出力交流電圧の実効値付近でリップル電流が大きくなるの？なんで？ねぇなんで？え？そゆとこを疑問に思わないとダメなんじゃないの？ねぇねぇ。」

と先輩が詰めて来たとしても、冷静に

「いや、理論式通りに動いてるだけでしょ。むしろ何がわからないんですか？」

と返しましょう。

微分して＝0を解くとΔILのピーク値が求められる

ピーク値を求めたいと思ったとき、以下のグラフの頂点がピーク値ですね。

つまり傾き=0を求めるとピーク値が求められるということになります。

では、先ほどのΔILの式を微分してみます。

$$\small{
ΔI_L’=\left( \frac{V_{DC}T_{SW}}{L} \left( 1-msin(ωt) \right)msin(ωt) \right)’
}$$

項を分けます。

$$\small{
ΔI_L’=\frac{V_{DC}T_{SW}}{L}m(sin(ωt))’-\frac{V_{DC}T_{SW}}{L}m^2(sin^2(ωt))’
}$$

sinの微分をしたらいい感じです。(sinωt)’=ωcos(ωt)、(sin^2ωt)’=2ωsin(ωt)cos(ωt)です。

$$\small{
ΔI_L’=\frac{V_{DC}T_{SW}}{L}mωcos(ωt)-\frac{V_{DC}T_{SW}}{L}m^22ωsin(ωt)cos(ωt)
}$$

ΔI_L’=0を解きます。

$$\small{
\frac{V_{DC}T_{SW}}{L}mωcos(ωt)-\frac{V_{DC}T_{SW}}{L}m^22ωsin(ωt)cos(ωt)=0
}$$

移行して、共通の部分を消すと以下の簡単な式になります。

$$\small{
1=m2sin(ωt)
}$$

sin(ωt)=の形にすると以下のようになります。

$$\small{
sin(ωt)=\frac{1}{2m}
}$$

つまり、sin(ωt)=1/2mのときにΔILはピーク値になるということです。ではΔILの式にこれを代入します。

$$\small{
ΔI_L=\frac{V_{DC}T_{SW}}{L}(1-msin(ωt))msin(ωt)\\
ΔI_L=\frac{V_{DC}T_{SW}}{L}(1-m\frac{1}{2m})m\frac{1}{2m}
}$$

mを消して、整理すると以下のようになります。

$$\small{
ΔI_L=\frac{V_{DC}T_{SW}}{4L}
}$$

これで最初に提示した式の二つ目が出てきました。

素晴らしいですね。この式でピーク値を計算できます。この式を使えば、「リアクトル値をいくつにしたらピーク値をある値以下に出来ますね。」って設計出来ますね！

はい、これで本記事を終わります。

誰かの参考になれば幸いです。最後までお読みいただきありがとうございました！！！