【インバーター】バイポーラSPWM制御単相インバーターのプラント伝達関数を計算する

みなさま、お疲れ様です。単相インバーターの記事、2回目です。

本日はバイポーラSPWM制御の単相インバーターのプラント伝達関数を導出してみようと思います。

と悩みを持たれている方の参考になれば幸いです。

【結論】ΔIL/ΔD ΔVac/ΔILの伝達関数

電流と電圧の伝達関数は以下の通りです。

$$\small{
G_{di}(s)=\frac{ΔIL(s)}{ΔD(s)}=\frac{2V_{dc}}{sL}\\
G_{iv}(s)=\frac{ΔVac}{ΔIL}=\frac{1}{sC}
}$$

L：リアクトルのインダクタンス値[H]、C：出力コンデンサ[F]、D：Duty[%]、IL：リアクトル電流、Vac：交流出力電圧

なぜこうなるのか？を以下で解説していきます。

ΔIL/ΔDの導出

それぞれの動作モードでの回路で式を立てます。

Q1とQ4がONのとき

まずはQ1とQ4がONのとき、回路を略して描くと以下のようになります。

インダクタの式を書くと

$$\small{
v_L=Li’_L(t)
}$$

ですね。で、VLはこのとき(Vdc-Vac)です。

$$\small{
(V_{dc}-V_{ac})=Li’_L(t)
}$$

i’L=の形にします。

$$\small{
i’_L(t)=\frac{V_{dc}-V_{ac}}{L}
}$$

これをラプラス変換します。微分はsをつければいいので

$$\small{
sI_L[s]=\frac{V_{dc}-V_{ac}}{L}\\
I_L[s]=\frac{V_{dc}-V_{ac}}{sL}
}$$

これがQ1,4がONのときです。

Q2とQ3がONのとき

次にQ2,3がONのときを考えます。回路を略して描くと以下のようになります。

Vdcが逆向きに印可されている状態です。

同様にインダクタの式を書いていきます。

$$\small{
v_L=Li’_L(t)
}$$

VLはこのとき(-Vdc-Vac)です。Vdcが逆向きに印可されてますからね。

$$\small{
(-V_{dc}-V_{ac})=Li’_L(t)
}$$

i’L=の形にします。

$$\small{
i’_L(t)=\frac{-V_{dc}-V_{ac}}{L}
}$$

これをラプラス変換します。微分はsをつければいいので

$$\small{
sI_L[s]=\frac{-V_{dc}-V_{ac}}{L}\\
I_L[s]=\frac{-V_{dc}-V_{ac}}{sL}
}$$

これがQ2,3がONのときです。

Dutyで平均化する

さきほど解いた式を以下にまとめて書きます。

$$\small{
I_L[s]=\frac{V_{dc}-V_{ac}}{sL}\\
I_L[s]=\frac{-V_{dc}-V_{ac}}{sL}
}$$

Q1,4のON DutyをD、Q2,3のON Dutyを1-Dとして、平均化します。

$$\small{
I_L[s]=\frac{V_{dc}-V_{ac}}{sL}D+\frac{-V_{dc}-V_{ac}}{sL}(1-D)
}$$

ごりごり解いて行きます。

$$\small{
I_L[s]=\frac{V_{dc}D-V_{ac}D-V_{dc}-V_{ac}+V_{dc}D+V_{ac}D}{sL}\\
I_L[s]=\frac{2V_{dc}D-V_{dc}-V_{ac}}{sL}
}$$

今回はDutyに対する伝達関数を知りたいので、Dがかかってる項以外は無視します。

$$\small{
I_L[s]=\frac{2V_{dc}D}{sL}
}$$

あとはDを移動させて終わりです。

$$\small{
\frac{I_L[s]}{D[s]}=\frac{2V_{dc}}{sL}
}$$

ΔVac/ΔILの導出

こっちは簡単に出てきます。

回路図を見ると

$$\small{
V_{ac}=v_{c}
}$$

ですね。つまり、コンデンサの式Q=CVで決まります。

$$\small{
V_{ac}=\frac{1}{C}\int i_L(t)dt
}$$

ラプラス変換します。積分は1/sを付けたらいいので

$$\small{
V_{ac}=\frac{1}{sC}I_L[s]
}$$

あとはILを移動させたら終わりです。

$$\small{
\frac{V_{ac}[s]}{I_L[s]}=\frac{1}{sC}
}$$

はい、こんな感じで伝達関数が導出できました。

この伝達関数をもとに制御設計をしたらいいって感じですね。

本記事はこれで終わります。誰かの参考になれば幸いです。

最後までお読みいただきありがとうございました！！！