PID制御の伝達関数はわかりますか？
$$G_c(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_ds$$
ほいじゃあ、この式からボード線図はわかりますか？わからんすよねぇ。それを解決する記事です。
PID制御のボード線図がわからない！！
という悩みをお持ちの方の解決になれば幸いです。ではやってみます。
結論：PID制御のボード線図はこれ
PID制御の伝達関数をボード線図が分かる様に書き直したのが以下の通りです。
$$G_c(s)=\frac{K_i(As+1)(Bs+1)}{s}$$
$$AB=\frac{K_d}{K_i}、A+B=\frac{K_p}{K_i}$$
ボード線図は以下の通りです。
もしくは
ちなみに計算機で導出過程が間違ってないか？を確認した結果は以下になります。
なんでそうなるの？と思いますよね。では以下で導出過程を記します。
導出過程
まずは最初の伝達関数を見ると、、、これが何でボード線図わからないかというと、+で繋がっているからですね。伝達関数は掛け算で繋がんと分からんのです。なので、式変形していきます。
$$G_c(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_ds$$
まずは一つの分数にします。
$$G_c(s)=\frac{K_ps+K_i+K_ds^2}{s}$$
並べ替えます。
$$G_c(s)=\frac{K_ds^2+K_ps+K_i}{s}$$
分子をKiで括ります。
$$G_c(s)=\frac{K_i(\frac{K_d}{K_i}s^2+\frac{K_p}{K_i}s+1)}{s}$$
さてここで困ります。「おいおいおい、分子が因数分解できんぞ。」と。ここで発想を変えて、仮に因数分解できたと仮定して式を立てます。
$$G_c(s)=\frac{K_i(As+1)(Bs+1)}{s}$$
これを分解すると
$$G_c(s)=\frac{K_i(ABs^2+(A+B)s+1)}{s}$$
つまり、こういうことです。
$$AB=\frac{K_d}{K_i}、A+B=\frac{K_p}{K_i}$$
さて、AとBについて解いていけば因数分解できますね。まず後ろ側の式をA=～の形にします。
$$A=\frac{K_p}{K_i}-B$$
これを前の式のAに代入します。まずはBを解くって感じですね。
$$(\frac{K_p}{K_i}-B)B=\frac{K_d}{K_i}$$
展開します。
$$\frac{K_p}{K_i}B-B^2=\frac{K_d}{K_i}$$
並び替えます。
$$B^2-\frac{K_p}{K_i}B+\frac{K_d}{K_i}=0$$
2次方程式の解の公式を使いましょう。懐かしいですね。
ax^2+bx+cの解は以下になる。
$$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$B=\frac{\frac{K_p}{K_i}±\sqrt{(-\frac{K_p}{K_i})^2-4\frac{K_d}{K_i}}}{2}$$
んでAは以下の通りですね。
$$A=\frac{K_p}{K_i}-B$$
$$A=\frac{K_p}{K_i}-(\frac{\frac{K_p}{K_i}±\sqrt{(-\frac{K_p}{K_i})^2-4\frac{K_d}{K_i}}}{2})$$
$$A=\frac{\frac{K_p}{K_i}±\sqrt{(-\frac{K_p}{K_i})^2-4\frac{K_d}{K_i}}}{2}$$
ん、つまりA,Bは以下の解を持つと。。。
$$(A,B)_1=(\frac{\frac{K_p}{K_i}-\sqrt{(-\frac{K_p}{K_i})^2-4\frac{K_d}{K_i}}}{2},\frac{\frac{K_p}{K_i}+\sqrt{(-\frac{K_p}{K_i})^2-4\frac{K_d}{K_i}}}{2})$$
$$(A,B)_2=(\frac{\frac{K_p}{K_i}+\sqrt{(-\frac{K_p}{K_i})^2-4\frac{K_d}{K_i}}}{2},\frac{\frac{K_p}{K_i}-\sqrt{(-\frac{K_p}{K_i})^2-4\frac{K_d}{K_i}}}{2})$$
あーしんど。伝達関数を思い出しましょう。
$$G_c(s)=\frac{K_i(As+1)(Bs+1)}{s}$$
これを見てボード線図を考えます。
- 0Hzでポールがいる。
- 1/Aでゼロ点がある。
- 1/Bでゼロ点がある。
近似ボード線図を描くと以下の通りです。
もしくは以下の通りですね。
以上です。
え？以上？お前の計算が合っているかどうかの確かめもせずに以上だと？と思われた方へ以下の記事をご確認ください。
pythonでボード線図描いてみたら計算結果と同じになりました。なので、ここまでの計算は間違っていないと思います。
はい。以上になります。誰かの参考になれば幸いです。最後までお読みいただきありがとうございました！！！